Em algebra linear, dois vetores em um Espaço vetorial de Produto interno são ortonormais se forem vetores Ortogonais e unitários. Um conjunto de vetores formam um conjunto ortonormal se todos os vetores no conjunto são mutuamente ortogonais e todos de comprimento unitário.
Uma base γ é ortonormal se é ortogonal e todo vetor da base é um vetor unitário (ou seja, u · u = 1 para todo vetor de γ). (ℓ)β = (a, b, c), ℓ = au + bv + c w. Para determinar a considere ℓ · u, ℓ · u = (au + bv + cw) · u = a(u · u) + b (u · v) + c(u · w).
Definição: Um conjunto de elementos em um espaço vetorial com produto interno é dito um conjunto ortogonal se quaisquer dois elementos desse conjunto são ortogonais. Um conjunto ortogonal no qual cada elemento tem norma igual a 1 é dito um conjunto ortonormal.
Pra saber se essa base é ortogonal é só a gente calcular o produto vetorial entre os vetores de dois em dois. Se todos os produtos forem iguais a zero, então a base é ortogonal. Os três produtos deram zero! Então a base é uma base ortogonal!
Produto Interno - Bases Ortogonais E Ortonormais - Exercício
O que é uma base Ortonormal?
Um conjunto de vetores formam um conjunto ortonormal se todos os vetores no conjunto são mutuamente ortogonais e todos de comprimento unitário. Um conjunto ortonormal na qual forma uma base, se chamará base ortonormal.
Na geometria, dois vetores euclidianos são ortogonais se forem perpendiculares, ou seja, formam um ângulo reto. Dois subespaços vetoriais, A e B, de um espaço interno do produto V, são chamados subespaços ortogonais se cada vetor em A for ortogonal a cada vetor em B.
Se os vetores são perpendiculares, isso implica que o ângulo entre eles é reto, ou de 90°. Seria o mesmo que considerar que um vetor está na horizontal e o outro na vertical. Nesse caso, para a soma deles é utilizado o teorema de Pitágoras. No caso da subtração a regra é a mesma, o que se muda é o vetor resultante.
➢ Dizemos que dois vetores são paralelos (ou colineares) quando seus representantes tiverem a mesma direção, ou seja, se tiverem representantes sobre uma mesma reta ou sobre retas paralelas.
A projeção ortogonal é a representação de um objeto em um plano quando as linhas visuais são perpendiculares a este plano. Observe: A projeção de um ponto sobre o plano é sempre um ponto.
Os vetores são representados geometricamente por flechas. Geralmente eles partem da origem, e as coordenadas de seu ponto final são escritas para identificá-lo. Na imagem abaixo, o vetor v = (a,b), pois (a,b) é o ponto final do vetor v. Exemplo: Para calcular a norma do vetor v = (3, – 4), utilize: |v| = √(a2 + b2).
A norma de vetores pode ser entendida com uma função que associa um vetor a um número real positivo, isto é, a função norma associa o vetor ao seu comprimento. Além disso, tem as seguintes propriedades: ‖ v ‖ ≥ 0 ; ‖ t v ‖ = | t | | v ‖ para todo.
Para obter um vetor w paralelo a um vetor v, basta tomar w=kv onde k é um escalar. Nesse caso, w e v são paralelos. Se k=0 então w=kv será o vetor nulo. Se 0<k<1 então |w|<|v|.
Nessa questão, nós precisamos calcular o produto escalar entre dois vetores, se for igual a teremos dois vetores ortogonais, e se for qualquer outro valor, ele poderá ser paralelo (se houver uma proporção entre as coordenadas dos vetores) ou não ser nenhum dos dois.
Quando o ângulo θ entre dois vetores V e W é reto (θ=90∘), ou um deles é o vetor nulo, dizemos que os vetores V e W são ortogonais ou perpendiculares entre si. O produto escalar ou interno de dois vetores V e W é definido por V⋅W={0,se V ou W é o vetor nulo,||V||||W||cosθ,caso contrário, em que θ é o ângulo entre eles.
O sentido de um vetor é para onde aponta sua extremidade. Porém, quando pelo menos uma das características citadas anteriormente é diferente, dizemos que os vetores são diferentes. Chamamos de vetor oposto de um vetor B o vetor –B, que possui o mesmo módulo, mesma direção, porém seu sentido é oposto ao de B.
O vetor nulo é o único que possui intensidade, ou norma, igual a zero. Todos os outros vetores possuem normas positivas. Além disso, o vetor nulo não possui um sentido definido. Geometricamente ele é representado no plano apenas por um ponto e não por uma seta, uma vez que não possui um sentido.
A projeção de um vetor sobre um plano é a sua projeção ortogonal sobre aquele plano. A componente ortogonal de um vetor em relação a um plano é a sua projeção ortogonal sobre uma reta que é perpendicular a esse plano. Ambas são vetores. O primeiro é paralelo ao plano, o segundo é ortogonal a ele.
Dois vetores são considerados como sendo colineares quanto têm a mesma direção (ainda que possam ter sentidos opostos). Por outras palavras, dois ou mais vetores são colineares se ao colocarmos retas "por cima" desses vetores, elas forem paralelas.
