Os números pares entre 1 e 101 são: 2, 4, 6, 8, ..., 100. Perceba que essa sequência é uma Progressão Aritmética de razão igual a 2. Da mesma forma, perceba que os números ímpares entre 0 e 100 são: 1, 3, 5, 7, ..., 99.
Os números pares entre 100 e 999 incluído 100 é 9.10.5 = 450 pois temos 9 possibilidades para o primeiro dígito (centenas), 10 para o segundo e 5 para o terceiro (0, 2, 4, 6, 8).
De novo, zero é par, pois o conjunto vazio pode ser dividido em dois grupos de zero itens cada. Os números pares e ímpares alternam-se. Começando em qualquer número par, contar duas unidades para a esquerda ou para a direita alcança-se outro número par, e não há qualquer razão para ignorar o zero.
Os números pares são aqueles divisíveis por 2. Ou seja, se dividirmos um número por 2 e o resto da divisão for zero, trata-se de um número par. Um número é considerado ímpar se ele não for divisível por 2, isto é, se dividirmos esse número por 2 e ele deixar um resto igual a 1.
Mas podemos realizar esse cálculo mais rapidamente se fizermos 50 x 101 = 5050. Portanto, através dessa ideia, Gauss conseguiu calcular rapidamente a soma de todos os números entre 1 e 100, obtendo o resultado de 5050.
Calculando: n = (an - a1)/r + 1 n = (99 - 1)/2 + 1 n = 49 + 1 n = 50 Agora, podemos aplicar na fórmula da soma: S = (50/2) * (1 + 99) S = 25 * 100 S = 2500 Portanto, o resultado da soma de todos os números ímpares entre 1 e 100 é 2500.
Ele é escrito como 277232917-1 (mais de 23 milhões de dígitos). O pi (3,14…), por sua vez, tem casas decimais infinitas. O americano Ed Karrels, aficionado pelo número, já calculou 10 quatrilhões delas. Outro número imenso com nome próprio é o googolplex.
É possível ainda descobrir se um número é par ou ímpar pelo seguinte critério: Todo número cujo último algarismo for 0, 2, 4, 6 e 8 será par, e todo o número que o último digito for 1, 3, 5, 7, 9 será ímpar.
Isto tem uma única exceção, que é o princípio do par, o número 2, que não admite a divisão em partes desiguais, porque ele é formado por duas unidades e, se isto pode ser dito, do primeiro número par, 2.
No conjunto dos números inteiros, os números pares são aqueles que podem ser divididos por 2 sem deixar resto. O menor número par é o 2, pois é o menor número inteiro positivo e, consequentemente, o menor número par.
Também podemos pensar da seguinte forma: no conjunto formado por todos os números inteiros, antes de um número ímpar vem sempre um número par. Como o zero vem antes do número um e este é ímpar, resulta que o zero tem que ser par.
A verdade é simples, direta e incontestável: zero é par! E o é porque a definição de paridade não é confusa: Um número inteiro é par se e somente se é divisível por 2. Isto é, qualquer múltiplo de 2 é par.
Exercício 1: Calcule a soma de todos os números de 1 até 200. Resposta: 20 100. Note que, utilizando a soma de Gauss, teremos 100 pares, somando 201 cada. Portanto, basta fazer 100 x 201 que resulta em 20 100.
